Поиски себя!

Объявление

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.



Фракталы

Сообщений 1 страница 17 из 17

1

Вот что пишет Википедия

Фракта́л (лат. fractusдроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Термин

Слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:
[list]
[*] Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
[*] Является самоподобной или приближённо самоподобной.
[*] Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
[/list]
Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
[list]
[*]    множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
[*]    треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
[*]    губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
[*]    примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
[*]    кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
[*]    кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
[*]    траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.
[/list]
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:
[list]
[*]    кривая дракона,
[*]    кривая Коха,
[*]    кривая Леви,
[*]    кривая Минковского,
[*]    кривая Пеано.
[/list]
С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Стохастические фракталы

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
[list]
[*]    траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
[*]    граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
[*]    эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
[*]    различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.
[/list]
В природе
[list]
[*]    Бронхиальное дерево
[*]    Сеть кровеносных сосудов
[*]    Деревья
[*]    Молния
[/list]
ИСТОЧНИК

Определение фрактала

Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно). Фрактал - это такой объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Большие по масштабу структуры полностью повторяют структуры, меньшие по масштабу. Так, в одном из примеров Мандельброт предлагает рассмотреть линию побережья с самолета, стоя на ногах и в увеличительное стекло. Во всех случаях получим одни и те же узоры, но только меньшего масштаба. Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.

Типы фракталов

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

[list]
[*]    геометрические фракталы
[*]    алгебраические фракталы
[*]    системы итерируемых функций
[*]    стохастические фракталы
[/list]
Читать подробнее >>>

2

Несколько работ от Nathan Smith, создающего "ювелирные" фракталы

Arc Version 1

http://s13.radikal.ru/i186/1208/74/f95c94c1ccd0.jpg

Blue Heart

http://s005.radikal.ru/i212/1208/57/733b2e316438.jpg

Compass of the Soul Version 2

http://s55.radikal.ru/i149/1208/0a/389be0330365.jpg

Free Spirit II

http://s44.radikal.ru/i105/1208/5f/39e4695169bc.jpg

Heart of Color

http://s017.radikal.ru/i421/1208/3d/353dfb08b944.jpg

Silent Echoes

http://s47.radikal.ru/i117/1208/fa/0a1e33cd34f0.jpg

Soft Lights

http://s014.radikal.ru/i327/1208/99/d66ea01bdd7d.jpg

Spirals

http://s019.radikal.ru/i644/1208/fc/4f3243aa6bd1.jpg

Tempest Collaboration

http://s53.radikal.ru/i141/1208/d9/dd5f5de4c90d.jpg

Другие найденные мной работы Натана Смита можно посмотреть в альбоме ФРАКТАЛЫ от Nathan Smith

3

Хочу предложить вашему вниманию, дорогие друзья, несколько альбомов с фракталами от Satu Oli (Финляндия). К сожалению, никакой информации об авторе я найти не смогла. Но работы - это "пиршество" великолепия!

Несколько работ из альбома Satu Oli Abstract

Abstract

http://s017.radikal.ru/i405/1208/27/b372722c37a0.jpg

Play With Colours

http://i047.radikal.ru/1208/df/a1369b219afa.jpg

Prison Abstract

http://s52.radikal.ru/i138/1208/fe/8e347d261bbf.jpg

Winter in Wonderland

http://s53.radikal.ru/i140/1208/6d/8014d8bd2fe0.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Abstract

4

Продолжаем  знакомиться с Satu Oli... И предлагаю вам несколько работ из альбома Satu Oli Tierazon

Autumnflowers

http://s04.radikal.ru/i177/1208/cf/91e79872e328.jpg

Robotics (Von Neumans Machine)

http://s53.radikal.ru/i140/1208/89/b1d3b950bbce.jpg

Surreal Mirror

http://s002.radikal.ru/i200/1208/fd/fb51ecba7015.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Tierazon

5

А вот несколько работ из альбома Satu Oli Trees

Cherry Blossoms

http://s59.radikal.ru/i163/1208/42/5c7cecbf4018.jpg

Christmas Tree

http://i051.radikal.ru/1208/d0/a11ee60dabf4.jpg

Japanese Tree

http://s018.radikal.ru/i503/1208/b3/b20f230a9abc.jpg

Orange Forest

http://s019.radikal.ru/i617/1208/d2/5f5f4859d962.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Trees

6

Несколько работ из альбома Satu Oli Wedding-like

August

http://s50.radikal.ru/i128/1208/34/708708dfc8de.jpg

Don't forget I love You

http://s11.radikal.ru/i183/1208/5a/8f2a3f578e53.jpg

Getting Married

http://s019.radikal.ru/i608/1208/7f/f9ad19e782c5.jpg

Married

http://s009.radikal.ru/i308/1208/5e/5f674b62ee78.jpg

Silky

http://s017.radikal.ru/i444/1208/5e/338cfc5e68ac.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Wedding-like

7

А вот несколько работ из альбома Satu Oli Marbles Orbs and Spheres

Astral

http://s53.radikal.ru/i142/1208/57/88f89a29c9a7.jpg

Good Old Times

http://s016.radikal.ru/i335/1208/3a/1a423ce326ef.jpg

Tribute

http://s58.radikal.ru/i159/1208/d6/d5100a05a14f.jpg

In SnowQueens' Palace

http://i038.radikal.ru/1208/56/faa928ef382c.jpg

Inner Glow

http://s019.radikal.ru/i606/1208/f5/6dcc1d07d4d4.jpg

The Three - Bad Apple

http://s43.radikal.ru/i099/1208/bf/aba1e70a9d6a.jpg

Our Home In Current Universe

http://s017.radikal.ru/i429/1208/64/d5e35170952a.jpg

Winter Dreams

http://i002.radikal.ru/1208/64/00ee09d5aea3.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Marbles Orbs and Spheres

8

А теперь предлагаю вам несколько работ из альбома Satu Oli Vintage

My Vintage Christmas

http://s010.radikal.ru/i312/1208/5d/2c575d1ac992.jpg

Strawberries For EveryOne

http://s42.radikal.ru/i096/1208/c5/e84ab1b13e7d.jpg

Vintage Flowers

http://s55.radikal.ru/i150/1208/a1/563753927539.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Vintage

9

Продолжаем знакомство. И предлагаю вам несколько работ из альбома Satu Oli Winter

Frost

http://s019.radikal.ru/i608/1209/74/595f08e9df7b.jpg

Frost Falling

http://s018.radikal.ru/i528/1209/b1/fa03ceea3ac7.jpg

Frost Flowers

http://s017.radikal.ru/i417/1209/89/e6b99581ede0.jpg

Pastel Spiral

http://i018.radikal.ru/1209/d3/ffeabadc582d.jpg

Safire Night

http://s61.radikal.ru/i172/1209/66/d894625eef2d.jpg

Structure

http://s49.radikal.ru/i124/1209/bd/fe96a02b034e.jpg

Winter

http://s49.radikal.ru/i126/1209/02/289971de9212.jpg

Winter Storm

http://s017.radikal.ru/i415/1209/ef/681b0def5b0d.jpg

Wintery Dream

http://s017.radikal.ru/i402/1209/91/f42d13020ce0.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Winter

10

Заглянем в альбом Satu Oli Wonderland

After The Rain

http://s61.radikal.ru/i171/1209/35/65fca0066ebd.jpg

Butterfly Effect

http://s017.radikal.ru/i431/1209/f2/48fee55dae2f.jpg

Gradual Change

http://s005.radikal.ru/i211/1209/6d/860e049e66e8.jpg

RR2 Wonderland Forever

http://i077.radikal.ru/1209/c3/73ca6cc05830.jpg

Wonderland Technicolor

http://i082.radikal.ru/1209/18/301db85841ee.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli -Wonderland

11

А теперь заглянем в альбом Satu Oli Rainbow colours

Chained Fun

http://s11.radikal.ru/i183/1209/ea/783e46b721a4.jpg

Disorder In Chaos

http://s018.radikal.ru/i519/1209/36/ed424f97f838.jpg

Flower Vortex

http://s44.radikal.ru/i106/1209/7e/81ef04b52312.jpg

For Butterflies

http://i072.radikal.ru/1209/3e/92339972326c.jpg

Harlequin II

http://s019.radikal.ru/i600/1209/59/598624e8e953.jpg

My Rainbow Garden

http://s44.radikal.ru/i103/1209/ff/7b29bb93a176.jpg

Night Of The Phoenix

http://s47.radikal.ru/i117/1209/71/d807f64d3282.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Rainbow colours

12

Подготовила довольно "большой" альбом с работами Satu Oli Flowers.

Above The Clouds

http://s001.radikal.ru/i196/1209/37/c3e5e6893a40.jpg

Barbie Durbie

http://s52.radikal.ru/i135/1209/16/ad5325461520.jpg

Basic Julian Floral

http://s019.radikal.ru/i607/1209/b7/1786a5ca264b.jpg

Delicate

http://i073.radikal.ru/1209/95/697169405d1f.jpg

Juliet

http://s017.radikal.ru/i433/1209/7e/d5c7e1ad16b1.jpg

Let Me Sail Home

http://s019.radikal.ru/i635/1209/45/823f7cd65031.jpg

Merry Spring

http://s017.radikal.ru/i402/1209/9b/0db16baef5d8.jpg

Midnight Flowers

http://s11.radikal.ru/i183/1209/34/6dcd801319c3.jpg

The Joy Of Spring

http://s005.radikal.ru/i211/1209/15/99f4a633f9bc.jpg

The Night Of Surprises

http://i017.radikal.ru/1209/74/c18911d975e8.jpg

Water Lily

http://s45.radikal.ru/i108/1209/2a/afea152aea80.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Flowers

13

Продолжение следует...

14

Наконец-то дошли у меня руки до ещё одного довольно "большого" альбома с работами Satu Oli Valentines and Hearts.

Chrystal

http://s017.radikal.ru/i429/1210/1f/603aaac1d71b.jpg

Deep Sea Diving

http://i066.radikal.ru/1210/fb/05536a730d2b.jpg

In Each Others Hearts I

http://s019.radikal.ru/i615/1210/ba/4e877dff0590.jpg

In Each Others Hearts II

http://s019.radikal.ru/i634/1210/84/36e02f53ed78.jpg

Love

http://s05.radikal.ru/i178/1210/32/f1bb3f57139f.jpg

Love'n Rain

http://s49.radikal.ru/i124/1210/14/dd029aa73ead.jpg

Loving Moon

http://s40.radikal.ru/i090/1210/d1/c06fdeae6134.jpg

Out Of The Window

http://s019.radikal.ru/i634/1210/58/d91391f782cd.jpg

Passion

http://s61.radikal.ru/i173/1210/64/0895f8e6bd55.jpg

Seacret Forest

http://s018.radikal.ru/i515/1210/cf/f541cf237b20.jpg

Strange Love I

http://i070.radikal.ru/1210/82/bdcd0df8f6f6.jpg

Strange Love II

http://s018.radikal.ru/i523/1210/60/841fe5147bbd.jpg

Valentines

http://s017.radikal.ru/i435/1210/d8/e9541e149182.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Valentines and Hearts

15

Очень красиво! Хотелось бы знать как это делается..

16

Ну и ещё один довольно "большой" альбом с работами Satu Oli Spirals.

All It Takes

http://s019.radikal.ru/i635/1210/d1/1c57486d1973.jpg

Another Spiral

http://s48.radikal.ru/i120/1210/91/e41fcf39fee4.jpg

Bright Colour Warning

http://s019.radikal.ru/i629/1210/6c/9cddea5e8287.jpg

Details

http://s017.radikal.ru/i443/1210/f1/bf998017e256.jpg

Evening Lights

http://s019.radikal.ru/i631/1210/8a/bea2ab4ceed3.jpg

For Fractal Dreams

http://s019.radikal.ru/i614/1210/c7/c61263e26cb3.jpg

Fractal Dreams

http://s51.radikal.ru/i134/1210/3e/2c7736949a23.jpg

Lake of Hope

http://s002.radikal.ru/i200/1210/5c/2759f9eb03f7.jpg

Last Spirals of Autumn

http://s017.radikal.ru/i434/1210/2d/a79fa7de3d33.jpg

Lavender Dreams

http://s001.radikal.ru/i195/1210/8a/28dda56a930d.jpg

Loving Flowers

http://s019.radikal.ru/i618/1210/f5/f01a3d713c7c.jpg

Lucy In The Sky With Diamonds II

http://s019.radikal.ru/i625/1210/af/89b1724e153e.jpg

Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Spirals

Все работы Satu Oli, найденные мной в интернете, можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli (Финляндия) - ВСЁ

17

Необыкновенная красотаhttps://forumupload.ru/uploads/0000/0b/62/88308-1.gif